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    <title>多元函数的极值</title>
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<h2>Lagrange 乘数法</h2>

<p class="question">
	<b>条件极值问题</b>
	设函数 `f, g_1, cdots, g_n` 在开集 `D sube RR^m` 上有定义 (`n lt m`),
  求函数 `f(x) = f(x_1, cdots, x_m)` 在约束条件
	<span class="formula">
    `g_i(x_1, cdots, x_m) = 0`, `quad i = 1, 2, cdots, n`
    <span class="label" id="for-condition">(17-2-1)</span>
	</span>
	下的极值. 满足约束条件 <a class="ref" href="#for-condition"></a> 的 `x`
  的取值范围 `S sube D` 称为<b>可行域</b>.
  若存在 `x_0 in S` 以及邻域 `B(x_0, delta) sube D`, 满足
	<span class="formula">
		`f(x_0) le f(x)`, `quad AA x in B(x_0, delta) nn S`,
	</span>
  则称 `x_0` 为 `f` 在约束条件下的极小值; 极大值定义类似.
</p>

<p class="remark">
  理论上, 可从约束条件中解出 `n` 个变元, 作为其它 `m-n` 个变元的函数,
  将 `f(x)` 化为只含 `m-n` 个变元的函数,
  从而将条件极值问题化为无条件极值问题.
  但实际上, 从约束条件往往难以解出它所确定的 `n` 个隐函数, 或者即使解出,
	代入后得到的函数也不便于求偏导数.  Lagrange
	乘数法巧妙避免了这些不便之处, 利用它可以直接获得条件极值问题的解.
</p>

<p class="example">
	以 `m=4, n=2` 的情形为例, 在开集 `D sube RR^4` 上
	求 `f(x, y, u, v)` 在约束条件
	<span class="formula">`{
		F(x, y, u, v) = 0;
		G(x, y, u, v) = 0;
	:}`
	</span>
	下的极值点. 为了能用微分学进行研究, 我们假设 `f, F, G` 可微.
</p>

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